С помощью логических переменных и символов логических операций любое высказывание можно формализовать, то есть заменить логической формулой.

 

 

1. Всякая логическая переменная и символы "истина" ("1") и "ложь" ("0") — формулы.

2. Если А и В — формулы, то ¬, (А &В), (А v В), (А B), (А  В) — формулы.

3. Никаких других формул в алгебре логики нет.

 

В п. 1 определены элементарные формулы; в п. 2 даны правила образования из любых данных формул новых формул.

 

Пример:

Рассмотрим высказывание "если я куплю яблоки или абрикосы, то приготовлю фруктовый пирог".

Обозначим буквой A высказывание: "купить яблоки", буквой B - высказывание: "купить абрикосы", буквой C - высказывание: "испечь пирог".

 Тогда высказывание "если я куплю яблоки или абрикосы, то приготовлю фруктовый пирог" формализуется в виде формулы:

 

(A v B)C

 

Формула выполнимая - если при определенных сочетаниях значений переменных она принимает значение "истина" ("1") или "ложь" ("0").

 

Как показывает анализ формулы (A v B)C, при определённых сочетаниях значений переменных A, B и C она принимает значение "истина", а при некоторых других сочетаниях — значение "ложь".

 

Некоторые формулы принимают значение "истина” при любых значениях истинности входящих в них переменных. Таковой будет, например, формула А v ¬A, соответствующая высказыванию "Этот треугольник прямоугольный или косоугольный”. Эта формула истинна и тогда, когда треугольник прямоугольный, и тогда, когда треугольник не прямоугольный.

 

Тавтология - тождественно истинная формула, или формула принимающая значение "истина" ("1") при любых входящих в нее значениях переменных.

 

Логически истинные высказывания - высказывания, которые формализуются тавтологиями.

 

В качестве другого примера рассмотрим формулу А & ¬A, которой соответствует, например, высказывание "Катя самая высокая девочка в классе, и в классе есть девочки выше Кати”. Очевидно, что эта формула ложна, так как либо А, либо ¬A обязательно ложно.

 

Противоречие - тождественно ложная формула, или формула принимающая значение "ложь" ("0") при любых входящих в нее значениях переменных.

 

Логически ложные высказывания - высказывания, которые формализуются противоречиями.

 

Равносильные формулы - две формулы А и В принимающие одинаковые значения, при одинаковых наборах значений входящих в них переменных.

 

Равносильность двух формул алгебры логики обозначается символом

 

Равносильное преобразование формулы - замена формулы другой, ей равносильной.