Каждая логическая связка рассматривается как операция над логическими высказываниями и имеет свое название и обозначение.

 

Выделяют следующие логические операции: инверсия; конъюнкция; дизъюнкция; импликация; эквиваленция.

 

 

Отрицание - это логическая операция, которая каждому простому высказыванию ставит в соответствие составное высказывание, заключающееся в том, что исходное высказывание отрицается.

 

Обозначается:  

 

В естественном языке: соответствует словам "неверно, что..." и частице "не"

 

Принимаемые значения:   

 

 

В алгебре множеств логическому отрицанию соответствует операция дополнения до универсального множества, т.е. множеству получившемуся в результате отрицания множества соответствует множество, дополняющее его до универсального множества.


Пример: Луна — спутник Земли (А). Луна — не спутник Земли (¬A)

 

 

Конъюнкция - это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.

 

 

В естественном языке: соответствует союзу "и"

 

Принимаемые значения:  

 

Диаграмма Эйлера-Венна:   

 

В алгебре множеств конъюнкции соответствует операция пересечения множеств, т.е. множеству получившемуся в результате умножения множеств А и В соответствует множество, состоящее из элементов, принадлежащих одновременно двум множествам.


Примеры:

1. 10 делится на 2 (A - и). 5 больше 3 (B - и). 10 делится на 2 и 5 больше 3 (A B - и).

2. 10 не делится на 2 (A - л). 5 больше 3 (B - и). 10 не делится на 2 и 5 больше 3 (A B - л).

3. 10 делится на 2 (A - и). 5 не больше 3 (B - л). 10 делится на 2 и 5 не больше 3 (A B - л).

4. 10 не делится на 2 (A - л). 5 не больше 3 (B - л). 10 делится на 2 и 5 больше 3 (A B - л).

 

 

 

 

Дизъюнкция - это логическая операция, которая каждым двум простым высказываниям ставит в соответствие составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны и истинным, когда хотя бы одно из двух образующих его высказываний истинно.

 

Обозначается:

 

В естественном языке: соответствует союзу "или"

 

Принимаемые значения: 

 

Диаграмма Эйлера-Венна:  

 

В алгебре множеств дизъюнкции соответствует операция объединения множеств, т.е. множеству получившемуся в результате сложения множеств А и В соответствует множество, состоящее из элементов, принадлежащих либо множеству А, либо множеству В.


Примеры:

1. 10 делится на 2 (A - и). 5 больше 3 (B - и). 10 делится на 2 или 5 больше 3 (A B - и).

2. 10 не делится на 2 (A - л). 5 больше 3 (B - и). 10 не делится на 2 или 5 больше 3 (A B - и).

3. 10 делится на 2 (A - и). 5 не больше 3 (B - л). 10 делится на 2 или 5 не больше 3 (A B - и).

4. 10 не делится на 2 (A - л). 5 не больше 3 (B - л). 10 не делится на 2 или 5 не больше 3 (A B - л).

 

 

4. Операция импликация (лат. лат. implico — тесно связаны) (логическое сложение):

 

Импликация - это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда условие (первое высказывание) истинно, а следствие (второе высказывание) ложно.

 

 

В естественном языке: соответствует обороту "если ..., то ..."

Принимаемые значения:  

 

1. Данный четырёхугольник — квадрат (A - и). Около данного четырёхугольника можно описать окружность (B - и). Если данный четырёхугольник квадрат, то около него можно описать окружность (A B - и).

2. Данный четырёхугольник — не квадрат (A - л). Около данного четырёхугольника можно описать окружность (B - и). Если данный четырёхугольник не квадрат, то около него можно описать окружность (A B - и).

3. Данный четырёхугольник — квадрат (A - и). Около данного четырёхугольника нельзя описать окружность (B - л). Если данный четырёхугольник квадрат, то около него можно описать окружность (A B - л).

4. Данный четырёхугольник — не квадрат (A - л). Около данного четырёхугольника нельзя описать окружность (B - л). Если данный четырёхугольник не квадрат, то около него нельзя описать окружность (A B - и).

 

 

Эквиваленция – это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания одновременно истинны или одновременно ложны.

 

 

В естественном языке: соответствует оборотам речи "тогда и только тогда"; "в том и только в том случае"

 

Принимаемые значения:  

 

1. 24 делится на 6 (A - и). 24 делится на 3 (B - и). 24 делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 3 (A B - и).

2. 24 не делится на 6 (A - л). 24 делится на 3 (B - и). 24 не делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 3 (A B - л).

3. 24 делится на 6 (A - и). 24 не делится на 3 (B - л). 24 делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 3 (A B - л).

4. 24 не делится на 6 (A - л). 24 не делится на 3 (B - л). 24 не делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 не делится на 3 (A B - и).

 

Порядок выполнения логических операций задается круглыми скобками. Но для уменьшения числа скобок договорились считать, что сначала выполняется операция отрицания ("не”), затем конъюнкция ("и”), после конъюнкции — дизъюнкция ("или”) и в последнюю очередь — импликация и эквиваленция.